We beginnen met enkele eigenschappen van de getallen in de driehoek van Pascal
en doen dat aan de hand van een werktekst van collega Pedro Tytgat.

 

BINOMIUM EN MULTINOMIUM

De binomiaalcoëfficiënten voorkomen in de formule voor (a + b)n,
maar om (a + b + c + ... + k + l)m te berekenen 
moet men een beroep doen op de zogenaamde multinomium-formule.

Zo is bijvoorbeeld

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 + 3a2c + 3ac2 + 3b2c + 3bc2  + 6abc.

 

Ik ontdekte nog een leuke eigenschap van kwadraatgetallen
die je met behulp van de formule voor (a + b + c)2 kunt bewijzen.

EIGENSCHAP

Als N = a2  + b2 + a2b2, waarbij a en b twee opeenvolgende gehele getallen zijn,
dan is N zelf een kwadraatgetal (= het kwadraat van een geheel getal).

Voorbeelden. 

 a = 1 en b = 2   ⇒ N = 1 + 4 + 4 = 9 = 32

a = 2 en b = 3 ⇒ N = 4 + 9 + 36 = 49 = 72

a = 99 en b = 100 ⇒ N = 9 801 + 10 000 + 98 010 000 = 98 029 801 = 9 9012.

Kan je dit in het algemeen bewijzen?

*******************************************************************

Blijkbaar was deze eigenschap al gekend door de Griekse wiskundige
Diophantos van Alexandrië. 
In zijn werk Aritmetica geeft hij zelfs een algemenere versie:

Als n een willekeurig positief geheel getal is
en x = n2,  y = (n+1)2 en z = 2(x + y +1)
dan zijn de volgende zes getallen kwadraatgetallen:
xy + x + y
yz + y + z
zx + z + x
xy + z 
yz + x
zx + y.

Voorbeeld. 
Voor n = 2 is x = 4, y = 9 en z = 28.
Hiermee bekom je dan de volgende de zes kwadraatgetallen:
49, 289, 144, 64, 256 en 121.

Kan je de eigenschap in het algemeen ook bewijzen?

__________________________________________________________________________________________________________________________

Hieronder vermelden we de 3D-veralgemening van de driehoek van Pascal.
Caroline Marien maakte als leerlinge van het Heilige Drievuldigheidscollege in Leuven
een eindwerk over de piramide van Pascal.
Je verneemt er ook wat het verband is met het multinomium van Pascal.